一片雪花的周长竟然能超过地球的直径?1.26维的图形是啥样?李永乐老师讲分形几何(2018最新)

各位同學大家好 我是李永樂老師有小朋友給我提出了這樣一個奇怪的問題他說一片雪花的周長有多大一片雪花和地球的直徑相比哪個更大呢他所問的這個問題其實涉及到分形幾何的問題所以今天我們就來研究一下分形幾何什麽是分形幾何呢分形這個詞正式提出是在1976年1976年的時候有一個美國的數學家叫曼德布羅 (Benoit B.
Mandelbrot 1924-2010)曼德布羅在美國的權威期刊《科學》上發表了一篇文章這篇文章的標題很奇怪 叫做《英國的海岸線有多長》《英國的海岸線有多長》有同學可能會想 那這個文章一定是一個地理問題了你看英國的海岸線有多長
對吧但實際上它是一個數學問題他在這篇文章中重復了以前一個英國數學家名字叫理查森的觀點這個理查森和這個曼德布羅到底說了些什麽呢他說這個英國的海岸線長度英國的海岸線我們知道是非常非常崎嶇的 這就是英國那麽這個英國的海岸線有多長呢當時這個理查森為了研究這件事 翻閱了一些資料包括這個荷蘭 比利時一些博物館的一些百科全書結果他們發現這個不同的國家對於共同的一段海岸線長度的數據測量結果差別很大
差別在20%以上那麽當時這個理查森就想 說為什麽會出現這種問題呢原因是什麽呢 原因他說是因為尺子的尺度不一樣如果你在太空中去研究這件事 那麽你的尺子可能比較粗糙你研究海岸線的時候可能是這麽量的
這麽量的這麽量 這麽量 這麽量你把這幾個長度加到一塊你就認為是海岸線的長度了這就是第一種情況 如果尺子比較大
尺度比較大那麽你的測量結果就會比較小那麽怎麽樣才能讓它測量結果大一些呢 就是讓尺子小一點比如說你不是在空中去量 你是走路去量那麽這個人就可能會沿着這個崎嶇的海岸一步一步的去走 對吧在一步一步走的時候
顯而易見他走的這個路程可能就要長一些了 對不對所以尺子小的時候 它結果就大你說那如果是一個人去走 他畢竟還有一個跨步
對吧一個很小的彎 人一步就跨過去了如果是一個螞蟻去走 它可能走的路線就更加崎嶇 對不對所以尺子越小
結果就越大那如果是個細菌去走 它走的路徑就更加的崎嶇所以如果尺子無限小 會有什麽結果如果尺子無限小 那麽這個尺寸就會結果怎麽樣結果就會無限大那麽綜上所述
英國的海岸線有多長呢 是不可以估計的這件事取決於你的尺子的尺寸你尺子的尺寸越小 它測量結果就越大所以沒有一個確切的值那麽這個曼德布羅為了詳細的描述這個問題就起了一個名字就叫分形 分形這概念就提出來了但實際上人們對於分形的研究早在100年前康托爾的時代就已經開始了咱們來舉幾個比較典型的例子比較典型的一個分形結構稱之為科赫雪花或者叫科赫曲線這個科赫雪花是在1904年的時候由這個瑞典的數學家科赫(Niels
Fabian Helge von Koch
1870-1924) 提出的這個曲線有個特點它是處處連續的 但是又處處不可微的怎麽去構造一個科赫雪花 不太難咱們首先畫一個三角形然後我們把三角形的每一個邊都等分為3份然後把其中的1份邊擦掉
變成兩個相等的邊組成的1個角同樣道理 我把這個邊也擦掉然後我用一個拱起來的兩個相等的邊這個邊我也擦掉 讓它拱起來相等的邊好 這樣我們做了一次疊代然後我再把這裏面的每1個小邊再等分成3份然後擦掉中間這1份這樣一來我又可以擦掉很多個邊
對不對 擦掉很多個邊擦完了這些邊之後幹什麽呀 我再把它拱起來這樣我就做了二次疊代 如此反復我們可以折騰很多很多次
折騰無限次那麽這樣就構成了一個類似於雪花的形狀而這個形狀我們就稱之為科赫雪花咱們可以研究一下這科赫雪花的周長有多大先說周長 假設我們原來的科赫雪花每個邊長都是1但是你每做一次疊代都會擦掉1/3 取而代之的是2/3所以實際上周長變成4/3倍了 對吧所以周長大小應該是什麽呢
本來是3 對吧然後疊代一次乘個4/3 疊代兩次再乘個4/3一直往下乘 乘無限多次那麽大家想一想最後這個結果會怎麽樣趨近於無窮大
對不對所以科赫雪花的周長其實是無窮大的因此如果我們拿一個雪花出來你認為這個雪花它稜角也是非常不規則的那麽你就可以認為這個雪花的周長是無限大它比地球的直徑要大有人說地球直徑的那不是無限大嗎 不是因為地球直徑我們可以用兩個夾子把它夾住 對吧它是個有限值但是一個雪花的周長它卻是一個無限制因為它非常的崎嶇那麽面積 咱們說一下面積這個面積顯而易見
面積它是有限的為什麽這個科赫雪花的面積是有限的呢你用一個圓把它罩住不就完了嗎它的面積肯定不會超過圓的面積 所以面積是有限的這是其中一個比較典型的例子那麽還有一個有意思的例子我們稱之為謝爾賓斯基地毯斯謝爾賓斯基地毯是什麽樣子的呢 我們看一下謝爾賓斯基 (Waclaw
Franciszek Sierpinski 1882-1969)提出了這樣的一個構造他說你看這有一張地毯 這地毯太單調了不好看所以怎麽著
我中間挖一個洞 這就叫疊代一次中間挖一個洞 我把這個用白色的筆表示你挖掉的部分然後你其實是把這個地毯分成了9個格123456789 其中有1個格被你給挖掉然後我再在其中的1/9個格
我再做這件事什麽事 我再挖1個洞同樣道理 這個格子我也要挖1個洞這個挖洞 這個我也挖洞
然後這個格子我也要挖洞挖1/3那麽大 再挖洞 然後再挖洞 再挖洞我們把這個洞也都挖好了相當於我剩下的部分每一個格子我也挖了洞
然後幹什麽然後你再去挖洞 你把這個地方挖個洞 挖個洞挖個洞 挖個洞
挖個洞 挖個洞 挖洞 挖洞
挖洞 挖洞每一個都這樣做這樣做無限多次就構成了一個叫什麽呀 謝爾賓斯基地毯這個東西也是很奇怪的 對不對你可以想像一下它有無限多個洞你最後這張毯子的面積有多少是不是基本都給挖掉了
是不是 面積非常非常小好 那麽這個分形結構它有什麽特點在生活中有很多的分形結構比如說像一棵大樹長出來之後它的枝杈可以認為就是一個近似的分形結構再比如說我們的毛細血管 你可以認為是個近似的分形結構分形結構有很多有意思的特點
咱們簡單的介紹一下首先第一個特點叫自相似性什麽叫自相似性呢就是分形結構的一部分跟它的整體是相似的舉個例子 咱們看如果我們把這個分形拿出來拿出來之後你去看它長什麽樣它長的樣子是不是和整體是一樣的 對不對和整體是一樣的 就挖洞嘛
整體一樣只不過尺寸縮小了吧 那麽如果你把這一塊拿出來拿出來你看它什麽樣 它其實還是這個樣子雖然它更小了 對吧
但是它其實還是這樣的一個洞你在任何一個地方拿出來它都是這個樣子的這就叫所謂的自相似性同樣道理 這科赫雪花也是一樣的咱們看科赫雪花 我們看最大的一個結構是這樣的一個邊是這個樣子的 對吧你把其中的一部分拿出來
比如這一小的邊大家看一看這個邊和整個這個邊是不是相似的 對吧你如果這樣無限分割下去的話你還可以拿出這裏邊的這一個小邊 我沒有畫下去但是你如果繼續畫 它其實還是相似的你可以一次又一次的放大放大之後你會發現它跟原來都是一樣的這就是第一個特點
自相似性除了自相似性以外 第二個特點叫做分數維度維度是什麽意思 有人說維度不就一維 二維
三維嗎這個咱們已經知道了 沒錯傳統的那個維度直線是一維 平面是二維 立體是三維這個叫做拓撲維度那麽你看我們畫的這兩個圖形無論是科赫雪花還是謝爾賓斯基地毯它其實都是二維的
對吧但是如果我們想再去詳細描述一下維度的含義的話就涉及到另外一種維度 稱之為豪斯多夫維度豪斯多夫維度是專門用來研究分形結構的怎麽去理解豪斯多夫維度呢咱們看一下這樣的一個問題 有一條線段這個線段我們說它是一維的 為什麽說它是一維的呢我找相似
咱們把線段切成2份其中1段是和整體相似的 對不對它的相似比是2 對吧而且你用兩段可以組成1個線段 因此可以分2份如果是一個平面
我們畫一個正方形正方形把它切割成小正方形 4個小正方形每一個小正方形跟原來大正方形相似的 相似比是幾相似比還是2 對吧
邊長之比1:2嘛此時你分了幾份 分了4份 對吧如果是一個立方體 大家想一想你把這個立方體這樣把它切割了你最後能切出幾份來
是不是切出8份來所以如果相似比是2 那麽你就會分8份咱們看一下這個維數怎麽出來的相似比是2的時候分2份2^1=2 這裏面這個1其實就是維度如果相似比是2的話 平面可以分成4份2^2=4
所以這裏面的這個2就是平面的維度同樣道理 如果你相似比1:2可以分8份 是個立體那就是2^3=8其中這個3就是什麽呀 就是立體的一個維度所以豪斯多夫維度是這麽定義的就是說你可以把它按相似比拆一下然後a^n=b
這個n就叫維度而這個a是什麽 a是相似比這個b就是你可以分的份數那麽我們按照這個規律來研究一下科赫雪花和謝爾賓斯基地毯它們兩個的這個a和b分別是多少a是相似比 對吧我們看 這個科赫雪花一個邊我分成了這樣的幾份那相似比應該是1:3
對吧所以a應該是3 相似比是3我分幾份 一個邊我把它分成1份 2
份 3份 4份 b是4所以它的維度應該是3^n=4
n是它的維度因此n等於幾 n=log3(4)這麽多維 大概是1.26維所以這個科赫雪花雖然是在一個2維平面裏的但它實際上並沒有2維那麽高 它是1.26維的一個東西咱們再來看一下這個謝爾賓斯基地毯謝爾賓斯基地毯它在一個2維平面內但它的豪斯多夫維度是多少呢
首先看它的a我們一個小的形狀和大形狀之比是1:3所以a是3 對吧 然後這個幾份小的組成一個大的呀12345678 所以8個組成一個大的因此它的計算方法就是3^n=8
這個n就是它的維度我們利用對數的含義 n=log3(8)=1.89這個圖形它是1.89維的也不到2維 是吧所以說這個分形結構是很有意思的我還可以再給大家出一道題我們知道直線上的點和平面上的點其實是一樣多的這個咱們以前講過了那麽我們用一條什麽樣的直線才能夠填滿整個平面呢這給大家留做一個作業大家如果喜歡我的視頻可以在西瓜視頻和YouTube帳號李永樂老師裏關註我